From: Subject: =?Windows-1252?Q?Mini-teoria_della_probabilit=E0?= Date: Wed, 3 Sep 2008 16:27:10 +0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/related; type="text/html"; boundary="----=_NextPart_000_002D_01C90DE1.EA314530" X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2900.3350 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_002D_01C90DE1.EA314530 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Content-Location: http://utenti.quipo.it/base5/probabil/teoprobabil.htm Mini-teoria della probabilit=E0

[BASE = Cinque -=20 Appunti di Matematica ricreativa]

Mini-teoria della probabilit=E0

Attenzione: questa =E8 una breve = sintesi=20 elementare e nulla pi=F9.

Definizione classica della probabilit=E0

3Dpunto La probabilit=E0 di un dato evento (E) =E8 = il=20 rapporto fra il numero (s) dei casi = favorevoli=20 all'evento stesso e il numero (n) dei casi possibili, = purch=E9=20 tutti i casi considerati siano ugualmente possibili (o = probabili).
(Guido=20 Castelnuovo, Calcolo delle probabilit=E0, Zanichelli)

p =3D p(E) =3D s/n

Nota. E gi=E0 qui c'=E8 un problema: si definisce la = probabilit=E0=20 usando il concetto di "eventi egualmente probabili".

Esempio 1. Lanciando una moneta, qual =E8 la = probabilit=E0 che=20 esca testa?
I casi possibili sono 2, testa e croce {T, C}, i casi = favorevoli=20 sono 1 {T}
p(testa) =3D 1/2

Esempio 2. Lanciando un dado, qual =E8 la = probabilit=E0 che esca=20 il 5?
I casi possibili sono 6, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, i casi favorevoli = sono 1=20 {5}
p(5) =3D 1/6

Esempio 3. Estraendo una carta da un mazzo di 40, = qual =E8 la=20 probabilit=E0 che sia una figura?
I casi possibili sono 40, i casi = favorevoli=20 sono 12, perch=E9 le figure sono 12
p(figura) =3D = 12/40

Esempio 4. Estraendo una pallina da un'urna che = contiene 5=20 palline rosse e 3 palline blu, qual =E8 la probabilit=E0 che la pallina = estratta sia=20 blu?
I casi possibili sono 5 + 3 =3D 8, i casi favorevoli sono 3, = perch=E9 ci=20 sono 3 palline blu
p(pallina blu) =3D 3/8

Esempio 5. Al gioco del lotto, qual =E8 la = probabilit=E0 che=20 esca un numero dato, in una estrazione di 5 numeri?
I casi possibili = sono=20 tutte le cinquine, i casi favorevoli sono le cinquine che contengono il = numero=20 dato.
a) totale cinquine =3D combinazioni di 90 elementi a 5 a 5 =3D = 90! / (5! =B7=20 85!)
b) totale cinquine con numero fisso =3D combinazioni di 89 = elementi a 4 a=20 4 =3D 89! / (4! =B7 85!)
p(estratto al lotto) =3D 90! / (5! = =B7 85!) / 89! /=20 (4! =B7 85!) =3D 5/90

Nota. Per calcolare il numero dei casi possibili e = di quelli=20 favorevoli, in molti casi serve il calcolo = combinatorio. Per=20 una semplice introduzione, vedi le seguenti pagine, su questo sito:

Le basi = della Combinatoria

Permu= tazioni,=20 disposizioni, combinazioni

Estremi della probabilit=E0

3Dpunto La probabilit=E0 di un evento p(E) =E8 sempre un numero = compreso fra 0 e=20 1:
0 <=3D p(E) <=3D 1

Un evento che ha probabilit=E0 0 =E8 detto evento=20 impossibile.

Un evento che ha probabilit=E0 1 =E8 detto evento = certo.

Esempio 1. Estraendo una carta da un mazzo di 40, = qual =E8 la=20 probabilit=E0 che sia un 10 di cuori?
I casi possibili sono 40 i casi = favorevoli sono 0, perch=E9 nei mazzi da 40 carte non ci sono i numeri = 8, 9,=20 10.
p(10 di cuori) =3D 0/40 =3D 0

Esempio 2. Estraendo una pallina da un'urna che = contiene 8=20 palline rosse, qual =E8 la probabilit=E0 che la pallina estratta sia = rossa?
I=20 casi possibili sono 8 i casi favorevoli sono 9, perch=E9 le ci sono 9 = palline=20 rosse.
p(pallina rossa) =3D 8/8 =3D 1

Come si pu=F2 esprimere la probabilit=E0: numero, rapporto, = percentuale

La probabilit=E0 di un evento si pu=F2 esprimere:

a) come frazione, ad esempio 3/4

b) come numero decimale, ad esempio 3/4 =3D 3 : 4 =3D 0,75

c) come percentuale, ad esempio 0,75 =3D 75%

Nota. Per trasformare un rapporto in una percentuale = si=20 divide il numeratore per il denominatore e si moltiplica il risultato = per=20 100.

Definizione statistica della probabilit=E0

3Dpunto In una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle = stesse=20 condizioni, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una=20 frequenza relativa che =E8 presso a poco uguale alla = sua=20 probabilit=E0. L'approssimazione cresce ordinariamente = con il=20 numero delle prove.
(Guido Castelnuovo, Calcolo delle = probabilit=E0,=20 Zanichelli)

frequenza relativa ->=20 probabilit=E0

Nota. La frequenza relativa di un = evento =E8=20 il rapporto fra il numero di volte che si =E8 verificato tale evento e = il numero=20 totale delle prove fatte.
Si pu=F2 esprimere come frazione, come = numero=20 decimale o come percentuale.

Esempio 1. Un un'urna ci sono palline bianche e = palline=20 nere, ma non si sa quante sono. Estraendo una pallina, qual =E8 la = probabilit=E0 che=20 sia nera?
Per rispondere, dobbiamo dapprima fare molte prove, = estraendo una=20 pallina alla volta e rimettendola nell'urna.
Supponiamo di aver fatto = 85=20 prove e di aver estratto una pallina nera per 16 volte.
Si calcola = quindi la=20 frequenza relativa delle prove favorevoli, ottenendo cos=EC un valore = approssimato=20 della probabilit=E0.
frequenza relativa =3D 16/85 =3D 0,188 = =3D=20 18,8%
dunque:
p(pallina nera) =3D 18,8% = circa

Eventi indipendenti ed eventi dipendenti

3Dpunto Due eventi casuali A e B sono indipendenti = se la=20 probabilit=E0 del verificarsi dell'evento A non dipende dal fatto che = l'evento B=20 si sia verificato o no, e viceversa.

Esempio 1. Abbiamo due mazzi di carte da 40. = Estraendo una=20 carta da ciascun mazzo, i due eventi:
E1 =3D "La carta estratta dal = primo mazzo=20 =E8 un asso"
E2 =3D "La carta estratta dal secondo mazzo =E8 una = carta di=20 fiori"
sono indipendenti.

3Dpunto Un evento casuale A =E8 dipendente da un = altro evento B=20 se la probabilit=E0 dell'evento A dipende dal fatto che l'evento B si = sia=20 verificato o meno.

Esempio 1. Abbiamo un mazzo di carte da 40. = Estraendo due=20 carte in successione, senza rimettere la prima carta estratta nel mazzo, = i due=20 eventi:
E1 =3D "La prima carta estratta =E8 un asso"
E2 =3D "La = seconda carta=20 estratta =E8 un asso"
sono dipendenti. Per la precisione la = probabilit=E0 di E2=20 dipende dal verificarsi o meno di E1.
Infatti:
a) la probabilit=E0 = di E1 =E8=20 4/40
b) la probabilit=E0 di E2, se la prima carta era un asso, =E8 = 3/39
c) la=20 probabilit=E0 di E2, se la prima carta non era un asso, =E8 4/39

Eventi incompatibili ed eventi compatibili

3Dpunto Si dicono incompatibili quegli eventi = aleatori che non=20 possono verificarsi simultaneamente in una data prova.

3D"diagramma
Eventi = incompatibili

Esempio 1. Estraendo una carta da un mazzo di 40, i = due=20 eventi:
E1 =3D "Esce l'asso di cuori"
E2 =3D "Esce una = figura"
sono=20 incompatibili.

3Dpunto Due eventi sono, invece, compatibili se = c=92=E8 anche una=20 sola possibilit=E0 che possano verificarsi simultaneamente, in una data = prova.

3D"diagramma Eventi = compatibili

Esempio 1. Estraendo una carta da un mazzo di 40, i = due=20 eventi:
E1 =3D "Esce una figura"
E2 =3D "Esce una carta di = cuori"
sono=20 compatibili perch=E9 in una estrazione potrebbe uscire una figura di = cuori.

Probabilit=E0 composta di eventi indipendenti/dipendenti

Siano A e B due eventi. Indichiamo con (A et B) l=92evento che si = verifica se e=20 soltanto se si verificano sia A sia B.

3Dpunto Se i due eventi sono indipendenti, cio=E8 il = verificarsi=20 dell=92uno non influisce sulla probabilit=E0 dell=92altro, la = probabilit=E0 dell=92evento=20 (A et B) =E8 uguale al prodotto delle probabilit=E0 di A e B:

p(A et B) =3D p(A) =B7 = p(B) (con=20 A, B indipendenti)

Esempio 1. Abbiamo due mazzi di carte da 40. = Estraendo una=20 carta da ciascun mazzo, consideriamo i due eventi indipendenti:
E1 = =3D "La=20 carta estratta dal primo mazzo =E8 un asso"
E2 =3D "La carta estratta = dal secondo=20 mazzo =E8 una carta di fiori"
Qual =E8 la probabilit=E0 che si = verifichino=20 entrambi?
p(E1) =3D 4/40
p(E1) =3D 10/40
p(E1 et E2) = =3D 4/40 =B7 10/40=20 =3D 40/400 =3D 1/10

3Dpunto Se i due eventi sono dipendenti, cio=E8 il = verificarsi=20 dell=92uno influisce sulla probabilit=E0 dell=92altro, si pu=F2 = applicare la stessa=20 regola, purch=E9 con p(B) si intenda la probabilit=E0 di B = nell=92ipotesi che A si sia=20 verificato.

p(A et B) =3D p(A) =B7 = p(B|A)=20 (con A, B dipendenti)

Esempio 1. Un'urna contiene 2 palline bianche e 3 = palline=20 rosse. Si estraggono due palline dall'urna in due estrazioni successive = senza=20 reintrodurre la prima pallina estratta nell'urna.
Calcolare la = probabilit=E0=20 che le due palline estratte siano entrambe bianche.
La probabilit=E0 = che la=20 prima pallina sia bianca =E8 2/5.
La probabilit=E0 che la seconda = pallina sia=20 bianca, a condizione che la prima pallina sia bianca, =E8 1/4.
La = probabilit=E0=20 di avere due palline bianche =E8:
p(due bianche) =3D 2/5 =B7 = 1/4 =3D 2/20 =3D=20 1/10

Probabilit=E0 condizionata

3Dpunto La probabilit=E0 che accada l'evento A, calcolata a = condizione che=20 l'evento B si sia verificato, si dice probabilit=E0 = condizionata=20 o probabilit=E0 di A sotto la condizione B e si denota = con=20 p(A|B).

p(A|B) =3D p(A et B) / = p(B)

Nota. Di solito la probabilit=E0 condizionata si = applica=20 quando A dipende da B, cio=E8 gli eventi sono dipendenti.
Nel caso in = cui A e B=20 sono indipendenti, le formule diventano p(A|B) =3D = p(A). Infatti=20 il verificarsi o meno di B non condiziona la probabilit=E0 p(A).

Esempio 1. Qual =E8 la probabilit=E0 che estraendo 2 = carte da un=20 mazzo di 40, la seconda sia di denari, nota l'informazione che la prima = =E8 stata=20 di denari, anche ?
p(denari et denari) =3D 10/40 =B7=20 9/39
oppure
p(denari | denari) =3D (10/40 =B7 = 9/39)/10/40 =3D=20 9/39

Probabilit=E0 totale di eventi incompatibili/compatibili

Siano A e B due eventi. Indichiamo con (A or B) l=92evento che si = verifica se e=20 soltanto se si verifica A oppure B oppure entrambi.

3Dpunto Se i due eventi sono incompatibili, la = probabilit=E0=20 dell'evento (A or B) =E8 uguale alla somma delle probabili=E0 di A e di = B.

p(A or B) =3D p(A) + = p(B) (con=20 A, B incompatibili)

Esempio 1. Calcola la probabilit=E0 che estraendo = una carta da=20 un mazzo da 40, sia un asso oppure una figura.
p(asso) =3D = 4/40
p(figura) =3D=20 12/40
p(asso or figura) =3D 4/40 + 12/40 =3D 16/40 =3D = 2/5

3Dpunto Se i due eventi sono compatibili, la = probabilit=E0=20 dell'evento (A or B) =E8 uguale alla somma delle probabili=E0 di A e di = B meno la=20 probabilit=E0 che si verifichino entrambi.

p(A or B) =3D p(A) + p(B)- p(A = et=20 B) (con A, B compatibili)

Esempio 1. Un=92urna contiene venti palline numerate = da 1 a=20 20. Calcola la probabilit=E0 dell=92evento C =3D =93La pallina estratta = ha un numero=20 multiplo di 2 oppure ha un numero multiplo di 5=94.
Gli eventi = "multiplo di 2"=20 e "multiplo di 5" sono compatibili, infatti 10 e 20 sono multipli sia di = 2 sia=20 di 5.
p(multiplo di 2) =3D 10/20
p(multiplo di 5) =3D = 4/20
p(multiplo di 2=20 e di 5) =3D 2/20
p(multiplo di 2 e di 5) =3D 10/20 + 4/20 - = 2/20 =3D 12/20=20 =3D 3/5

Nota. Quando un evento si pu=F2 verificare in pi=F9 = modi diversi=20 e fra loro incompatibili, la sua probabilit=E0 =E8 la probabilit=E0 =E8 = la somma delle=20 probabilit=E0 corrispondenti a tali modi diversi.

Esempio 2. Lanciando due dadi, qual =E8 la = probabilit=E0 che la=20 somma dei numeri usciti sia 7?
Il totale 7 si pu=F2 ottenere in 6 = modi diversi=20 e incompatibili (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), ciascuno dei quali ha=20 probabilit=E0 1/36.
p(somma 7) =3D 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 = + 1/36 +=20 1/36 =3D 6/36 =3D 1/6

Probabilit=E0 di eventi contrari

3Dpunto Dato un evento A, si dice evento contrario = ad A=20 l=92evento che si verifica quando non si verifica A, ossia l=92evento -A = complementare di A.

Due eventi contrari sono incompatibili.

3D"diagramma
Ev= enti=20 contrari

3Dpunto La probabilit=E0 di un evento si pu=F2 ottenere sottraendo da = 1 la=20 probabilit=E0 del suo evento contrario.

p(A) =3D 1-p(-A)

Esempio 1.Trovare la probabilit=E0 che, lanciando = due dadi, si=20 ottenga come somma delle facce almeno 4.
Dato che un punteggio = maggiore o=20 uguale di quattro si pu=F2 ottenere in molti modi, conviene pensare = l=92evento come=20 contrario a A =3D =93si ottiene un punteggio inferiore a quattro=94. Gli = eventi=20 favorevoli ad A sono le tre coppie (1, 1), (1, 2), (2, 1) per = cui:
p(A) =3D=20 3/36 =3D 1/12
e la probabilit=E0 richiesta =E8:
p( A ) =3D = 1 - 1/12 =3D=20 11/12

Probabilit=E0 totale, composta e grafi ad albero

Esempio 1. (tratto dai materiali didattici del prof. = Dario Palladino, Universit=E0 di Genova - http://www.dif.u= nige.it/epi/hp/pal/dispense.htm)
Un=92urna=20 contiene 10 palline verdi e 7 palline rosse. Si estraggono = successivamente due=20 palline, senza rimettere la prima nell=92urna.
Qual =E8 la = probabilit=E0 che=20 siano:
a) dello stesso colore;
b) di colore diverso;
c) almeno = una=20 rossa?
Per risolvere questo problema aiutiamoci con un diagramma ad = albero: i=20 quattro rami rappresentano i possibili percorsi fra loro incompatibili = e, in=20 ciascun tratto, =E8 riportata la rispettiva probabilit=E0.

3D"grafo

Ad esempio, considerato il ramo a sinistra (VV), nel = primo=20 tratto figura la probabilit=E0 10/17 che la prima pallina estratta sia = verde, nel=20 secondo la probabilit=E0 9/16 che la seconda pallina sia verde = nell=92ipotesi che la=20 prima sia verde (delle 16 palline ancora nell=92urna, solo 9 sono = verdi).
Cos=EC,=20 nel ramo RV, nel primo tratto figura la probabilit=E0 = 7/17 che la=20 prima pallina estratta sia rossa, nel secondo la probabilit=E0 10/16 che = la=20 seconda estratta sia verde nell=92ipotesi che la prima pallina sia rossa = (tra le=20 16 palline rimaste vi sono tutte e 10 le palline verdi).
a) Per la = regola=20 della probabilit=E0 composta, la probabilit=E0 che entrambe le palline = siano verdi,=20 ossia che si verifichi l=92evento VV, =E8 10/17 =B7 = 9/16 =3D=20 45/136.
Analogamente, la probabilit=E0 che entrambe le palline siano = rosse,=20 ossia che si verifichi l=92evento RR, risulta 7/17 =B7 = 6/16 =3D=20 21/136.
Quindi, la probabilit=E0 dell=92evento =93le palline sono = dello stesso=20 colore=94, ossia entrambe verdi o entrambe rosse, per la regola della = probabilit=E0=20 totale, =E8 45/136+21/136 =3D 66/136 =3D 33/68.
b) Per calcolare la = probabilit=E0=20 dell=92evento =93le palline sono di colore diverso=94, anzich=E9 sommare = la probabilit=E0=20 che la prima sia verde e la seconda rossa con quella che la prima sia = rossa e la=20 seconda verde, possiamo sfruttare quanto ottenuto in a) e applicare la = regola=20 della probabilit=E0 dell=92evento contrario; infatti l=92evento =93le = palline sono di=20 colore diverso=94 =E8 contrario di =93le palline sono dello stesso = colore=94, e quindi=20 la sua probabilit=E0 =E81-33/68 =3D 35/68.
c) La probabilit=E0 = dell=92evento =93almeno=20 una pallina =E8 rossa=94 =E8 la somma delle probabilit=E0 dei tre eventi = VR, RV, RR. Pi=F9 = rapidamente=20 si pu=F2 calcolare la probabilit=E0 dell=92evento contrario a = VV (=93le=20 palline sono entrambe verdi=94): 1-45/136 =3D 91/136.

Nota. La schematizzazione mediante grafi ad albero=20 (associare ad ogni diramazione un evento e la relativa probabilit=E0) si = pu=F2 usare=20 quando gli eventi associati agli archi di una diramazione ("l'uscita =E8 = pari" e=20 "l'uscita =E8 dispari" nell'esempio dei dadi) costituiscono un gruppo=20 completo di eventi (cio=E8 almeno uno di essi deve = accadere)=20 incompatibili (nessuno di essi pu=F2 accadere = contemporaneamente=20 ad un altro).

Definizione di speranza matematica (di una vincita fortuita)

3Dpunto La speranza matematica (M) di una vincita = (S) =E8 il=20 prodotto del valore che si spera di = vincere=20 per la probabilit=E0 di vincerlo (p(E)).

M =3D p(E) =B7 S

Esempio 1. Un giocatore pu=F2 vincere 72 EURO se, = lanciando=20 due dadi, ottiene un doppio 6.
Qual =E8 la sua speranza = matematica?
E =3D=20 "Escono due 6"
p(E) =3D 1/36
M =3D 72=B71/36 =3D 2 = EURO
La sua=20 speranza matematica =E8 di vincere 2 EURO.
Che cosa significa?
Se = gioca una=20 sola volta, o vince 0 EURO o vince 72 EURO. Ma se gioca molte volte, la = media=20 che deve aspettarsi =E8 di 2 EURO a giocata. Infatti, statisticamente, = vincer=E0 una=20 giocata ogni 36, cio=E8 35 volte 0 EURO e 1 volta 72 EURO.
La media = =E8:
media=20 =3D (35=B70+1=B772)/36 =3D 2 EURO

Nota. In questo caso, la speranza matematica =E8 il = valore=20 medio di una variabile casuale (X) che pu=F2 assumere soltanto due = valori.

Variabile casuale (X)	esce doppio 6 vincita =3D 72	non esce doppio 6 vincita =3D 0
Probabilit=E0 (p)	35/36	1/36

Pi=F9 in generale, se S1, S2, =85, Sn sono delle somme positive o = negative=20 (rispettivamente guadagni o perdite) la cui disponibilit=E0 =E8 legata = al=20 verificarsi di n eventi che costituiscono una partizione dell=92evento = certo, si=20 definisce speranza matematica (M) la somma dei prodotti delle Si per le=20 rispettive probabilit=E0:

M =3D S1=B7p1 + S2=B7p2 + =85 + = Sn=B7pn

La speranza matematica, anche in questo caso, =E8 il valore=20 medio della variabile casuale.

Definizione di gioco equo

3Dpunto Un gioco =E8 equo se la speranza=20 matematica =E8 uguale a zero.

In molti (forse tutti?) i casi, il giocatore, per partecipare al = gioco, deve=20 pagare una posta (P). In questo caso, una definizione equivalente a = quella=20 precedente =E8:

3Dpunto Un gioco =E8 equo se la = posta (A) =E8=20 uguale alla speranza matematica di vincita (M)

A =3D M

Il rapporto M/A permette di valutare l'equit=E0 del = gioco.

Esempio 1. Alla roulette francese, il gioco "rosso e = nero" =E8=20 equo?
Alla roulette ci sono 37 caselle, di cui 18 nere e 18=20 rosse.
Puntando sul rosso o sul nero, si incassa il doppio della=20 posta.
Supponiamo di puntare 100 EURO sul rosso. E =3D "Esce=20 rosso".
probabilit=E0 =3D p(E) =3D 18/37
posta: A =3D 100 = EURO
vincita: S =3D 200=20 EURO
speranza matematica: M =3D 200=B718/37 =3D 97,3 = EURO
Per=20 calcolare il "livello di equit=E0" della roulette, si calcola il = rapporto=20 M/A.
M/A =3D 97,3/100 =3D 0,973 -> 97,3%
Il = gioco =E8=20 evidentemente non equo, ma non troppo sbilanciato.

Esempio 2. Il gioco del lotto, puntando su un numero = singolo=20 su una data ruota, =E8 equo?
Supponiamo di puntare 100 EURO sul 25, = ruota di=20 Genova. E =3D "Esce il 25 sulla ruota di Genova".
probabilit=E0 =3D = p(E) =3D 5/90 =3D=20 1/18
posta: A =3D 100 EURO
vincita: S =3D (1123,2 - 100) =3D = 1023,2 EURO (11,232=20 volte la posta meno la posta stessa)
speranza matematica: M = =3D=20 1023,2=B71/18 =3D 56,84 EURO
Per calcolare il "livello di = equit=E0" dell=20 lotto, puntando sull'Estratto, si calcola il rapporto = M/A.
M/A =3D=20 56,84/100 =3D 0,5684 -> 56,84%
Il banco del lotto vince = mediamente=20 poco pi=F9 del 43% delle puntate, contro il 2,7% di quello della = roulette.

Esempio 3. Se il lotto fosse equo, quanto si = dovrebbe=20 vincere per aver indovinato un ambo su una data ruota?
probabilit=E0 = ambo: p =3D=20 2/801
posta: A =3D 100 EURO
vincita lorda: 25000 EURO (250 volte = la=20 posta)
vincita netta: S =3D 24900 EURO (249 volte la posta)

Variabile casuale (X)	esce ambo vincita =3D 24900	non esce ambo vincita =3D -100
Probabilit=E0 (p)	2/801	799/801

Speranza matematica, con la vincita realmente assegnata:
M =3D = S1=B7p1 + S2=B7p2=20 =3D 24900=B72/801 - 100=B7799/801 =3D -37,58 EUR
Continuando a = giocare, si perde in=20 media il 37,58% delle puntate
Se invece il gioco fosse = equo:
probabilit=E0=20 ambo: p =3D 2/801
posta: A =3D 100 EURO
vincita netta: S =3D = ?
A =3D S=B7p
100=20 =3D 2S/801
S =3D 80100/2 =3D 40050 EURO =3D 400,5 volte la=20 posta.

Esempio 4. Il gioco dei 3 dadi.
Si tratta di un = gioco=20 assai diffuso nel medioevo. Su un grande tavolo =E8 disegnato un = rettangolo diviso=20 in 6 quadrati, numerati da 1 a 6.
Il banco invita gli spettatori a = puntare su=20 uno dei sei numeri.
Terminate le puntate, il banco getta tre = dadi.
Chi ha=20 puntato sul numero uscito in uno qualsiasi dei tre dadi vince il valore = della=20 somma puntata.
Se il numero =E8 presente su due dadi la vincita si=20 raddoppia.
Se la "fortuna" fa uscire il numero su tutte e tre le = facce, la=20 vincita si triplica.

>>>... da risolvere...

Esempio 5. Un gioco con un mazzo da 40 carte.
Il=20 giocatore estrae una carta.
Se la carta =E8 un asso, vince 30 = EURO
Se =E8 una=20 figura, vince 12 EURO
In tutti gli altri casi deve pagare 14=20 EURO
Calcolare la speranza matematica del giocatore.
Il gioco =E8 = equo?

Variabile casuale (X)	Asso +30	Figura +12	N=E9 asso n=E9 figura -14
Probabilit=E0 (p)	4/40	12/40	24/40

La speranza matematica del giocatore =E8:
M =3D S1=B7p1 + = S2=B7p2 + S3=B7p3=20 =3D 120/40 + 144/40 - 336/40 =3D -1,8 EURO
Il gioco non =E8 = equo e il=20 giocatore, facendo tante partite, perde in media 1,8 EURO a partita. =

Ne vale la pena?

Quando una persona =E8 disposta a dare qualcosa in cambio di = qualcos'altro che=20 potr=E0 o non potr=E0 ottenere, con un certo intervento del caso, in = realt=E0 sta=20 facendo un gioco d'azzardo.

Se continua a ripeterlo =E8 perch=E9 crede che sia equo o meglio = vantaggioso per=20 s=E9.

Se in realt=E0 il gioco =E8 svantggioso, evidentemente la persona ha = valutato=20 male i guadagni oppure le perdite oppure le probabilit=E0.

Questo pu=F2 aiutare a capire le valutazioni personali di un = individuo.

Esempio 1.

Variabile casuale (X)	Comportamento A vincita =3D A	Comportamento B vincita =3D -B
Probabilit=E0 (p)	p	1-p

M =3D Ap - B(1-p) >=3D 0

A >=3D B(1-p)/p

Continua... forse...

Esercizi

Tratti dal sito Macosa (MAtematica per COnoscere e = per=20 SApere, Dipartimento di Matematica, Universit=E0 di Genova) - http://macosa.dima.unige.it/

Lancio del dado
Un dado (equo) viene lanciato due = volte.=20 Qual =E8 la probabilit=E0 che il punteggio ottenuto nel secondo lancio = sia minore di=20 quello ottenuto nel primo?
(A) 1/4 (B) 1/3 (C) 5/12 (D) 1/2 (E) = 7/12

Sorteggio di una coppia
Una classe =E8 formata da = 13=20 femmine e 11 maschi. Vengono sorteggiati due alunni per far parte della=20 selezione degli alunni della scuola che parteciper=E0 alla festa = organizzata in=20 occasione della visita di una classe proveniente da un altro paese. Qual = =E8 le=20 probabilit=E0 che la coppia sorteggiata sia tutta femminile? E quella = che sia=20 mista?

Tiro al bersaglio
Giorgio, al tiro al bersaglio, = ha,=20 statisticamente, una percentuale di successo del 20% (ossia la frequenza = con cui=20 centra il bersaglio =E8 del 20%). Se non dispongo di altre informazioni, = di fronte=20 alla effettuazione di cinque tiri da parte di Giorgio, devo ritenere = pi=F9=20 probabile (1) che non colpisca mai il bersaglio, (2) che lo colpisca una = sola=20 volta o (3) che lo colpisca pi=F9 di una volta?
A) i primi due eventi = hanno la=20 stessa probabilit=E0, inferiore alla probabilit=E0 del terzo
B) i = primi due=20 eventi hanno la stessa probabilit=E0, superiore alla probabilit=E0 del = terzo
C)=20 il primo evento =E8 pi=F9 probabile degli altri
D) il secondo evento = =E8 pi=F9=20 probabile degli altri
E) il terzo evento =E8 pi=F9 probabile degli = altri due, che=20 hanno tra loro probabilit=E0 diverse

Pezzi difettosi
In una fabbrica che produce un=20 particolare componente per computer alla fine del ciclo produttivo viene = effettuato un controllo "a vista" che mediamente indivua ed elimina = l'80% dei=20 pezzi difettosi ma, erroneamente, elimina anche il 7% dei pezzi non = difettosi.=20 Supponiamo che si sappia che, in media, i pezzi difettosi prodotti sono = il 10%.=20 Qual =E8 la probabilit=E0 che un pezzo che supera l'esame sia = difettoso?

Test sanitario
Un certo test sanitario per = valutare la=20 presenza (esito positivo) o assenza (esito negativo) della malattia X ha = attendibilit=E0 del 95% (in caso di presenza c'=E8 il 95% di = probabilit=E0 che l'esito=20 sia positivo , in caso di assenza il 95% di probabilit=E0 che sia = negativo). Si sa=20 da statistiche serie che l'1% della popolazione =E8 affetta dalla = malattia X. Se=20 per una persona il test d=E0 esito positivo, qual =E8 la probabilit=E0 = che essa sia=20 realmente malata?

Dipendenza indipendenza
Lancio un dado equo. = Siano X=20 l'evento "esce un numero pari", Y l'evento "esce 1 o 4" e Z l'evento = "esce un=20 numero minore o eguale a 3". Quale delle seguenti affermazioni =E8 = vera?
(A) X=20 e Y sono entrambi indipendenti da Z
(B) X =E8 indipendente da Z e Y = non lo=20 =E8
(C) Y =E8 indipendente da Z e X non lo =E8
(D) X e Y sono = entrambi=20 dipendenti da Z
(E) Non ho informazioni sufficienti per stabilire = quali tra=20 le precedenti affermazioni =E8 vera

Soluzioni

Lancio del dado
5/12

Sorteggio di una coppia
Si pu=F2 fare un grafo ad = albero.
p(coppia femminile - FF) =3D 13/46
p(coppia mista - MF or = FM) =3D=20 143/276

Tiro al bersaglio
p(che non colpisca mai il = bersaglio) =3D=20 0,8⁴
p(che lo colpisca una sola volta) =3D = (0,2*0,8*0,8*0,8*0,8)*5 =3D=20 0,8⁴
p(che lo colpisca pi=F9 di una volta), =E8 l'evento = complementare=20 dei primi due, =3D1 - (0,8⁵+0,8⁴)

Pezzi difettosi
Si pu=F2 fare un grafo ad albero: = inizio -=20 difettoso/buono - preso/scartato.
Ogni 100 pezzi, quelli che superano = l'esame=20 mediamente sono 85,7, quelli tra questi difettosi sono 2. La frequenza = con cui=20 tra i pezzi che superano ve n'=E8 uno difettoso =E8 2/85,7 =3D 2,3%. = Questa =E8 la=20 probabilit=E0 cercata.
In altri termini:
p(EssereDifettoso | = EsserePreso)=20 =3D
=3D p(EssereDifettoso & EsserePreso) / p(EsserePreso) = =3D
=3D 2/85,7 =3D=20 2,3%

Test sanitario
3D"diagramma
Si = deve=20 calcolare la probabilit=E0 condizionata di essere malato sotto la = condizione di=20 essere positivo:
p("essere malato" | "risultare positivo") =3D
=3D = p("essere=20 malato" et "risultare positivo") / p("risultare positivo") =3D
=3D = 0,95% / 5,90%=20 =3D 16%
Per calcolare p("risultare positivo") si pu=F2 fare un = diagramma ad=20 albero: inizio - malato/non malato - positivo/negativo.

Questo= esempio=20 evidenzia il ruolo del calcolo delle probabilit=E0 nella = razionalizzazione delle=20 situazioni "incerte".
Esso non =E8 tuttavia sempre=20 sufficiente. Si pensi ai vaccini, che a volte hanno una certa=20 probabilit=E0 di causare l'insorgere delle malattie stesse; per decidere = se=20 rendere obbligatoria una vaccinazione non basta trovare che tale = probabilit=E0 =E8=20 bassa rispetto alla diffusione della malattia: imporre a chi potrebbe = rimanere=20 sano una vaccinazione che pu=F2 causare una malattia comporta = valutazioni anche di=20 tipo morale.

Dipendenza indipendenza
Y =E8 indipendente da Z e = X non lo=20 =E8.

Data creazione: maggio 2008

Ultimo aggiornamento: maggio 2008

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Sito Web realizzato da = Gianfranco=20 Bo

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