Fioravante Bosco

Elementi di Algebra

 DISTANZA TRA DUE PUNTI

(lunghezza di un segmento)

Conoscendo le coordinate di due punti generici A e B nel piano cartesiano, è possibile determinare la loro distanza, cioè calcolare la misura del segmento AB. Si possono verificare tre casi:

1.segmento parallelo all'asse delle x ovvero perpendicolare all'asse y

2.segmento parallelo all'asse delle y ovvero perpendicolare all'asse x

3.segmento non parallelo a nessuno dei due assi, ovvero segmento obliquo.

Consideriamo due punti di coordinate A(-3;3) e B(4;3)che hanno la stessa ordinata; il segmento AB è orizzontale e la sua misura si può determinare calcolando la differenza fra le ascisse dei due punti:

Attenzione - in genere si usa il valore assoluto tenuto conto che non ha importanza l'ordine con cui si considerano le due ascisse che si sottraggono e il risultato è sempre positivo [ricorda che la misura di un segmento è sempre un numero positivo]

Consideriamo due punti di coordinate A(2;3) e B(2;8)che hanno la stessa ascissa; il segmento AB è verticale e la sua misura si può determinare calcolando la differenza fra le ordinate dei due punti:

Consideriamo due punti di coordinate A(2;3) e B(6;6)che non hanno la stessa ascissa e neanche la stessa ordinata; il segmento AB in questo caso è obliquo cioè non è parallelo e nemmeno perpendicolare agli assi cartesiani. In riferimento alla figura sottostante tracciamo da A la parallela all'asse x e da B la parallela all'asse y; si ottiene in questo modo il triangolo rettangolo ABH.

ATTENZIONE: come vedi dalla figura il vertice H del triangolo rettangolo ABH presenta coordinate H(6;3) ovvero presenta la stessa ascissa del punto B e la stessa ordinata del punto A. Allora si può dedurre che le misure dei due cateti [AH e BH]rispettivamente quello orizzontale e quello verticale sono date dai valori assoluti delle loro differenze (vedi i casi precedenti).

A questo punto applicando il teorema di Pitagora si può calcolare la misura dell'ipotenusa ovvero la misura del segmento AB.

Riassumendo si può generalizzare che la distanza tra due punti è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati della differenza tra le ascisse e della differenza tra le ordinate; in formula:

ATTENZIONE: la "formula sopracitata" è valida anche nel caso che i due punti A e B abbiano o la stessa ascissa o la stessa ordinata ovvero è valida anche per i primi due casi esaminati. Verifichiamo, alla luce di quanto esplicitato il primo caso e cioè determiniamo la misura del segmento AB nel caso in cui lo stesso è parallelo all'asse x: le coordinate di A e B sono A(-3;3) e B(4;3). Applichiamo la relazione precedente e avremo:

INDIETRO