Fioravante Bosco

Elementi di Algebra

 PIANO CARTESIANO ORTOGONALE

Già sai che, data una retta (r) su cui si sia scelto un punto O e fissata un'unità di misura, si può ad ogni punto della retta far corrispondere un numero relativo, e viceversa ad ogni numero relativo si può far corrispondere un punto di quella retta. Supponiamo a questo proposito di voler localizzare un generico punto P su una ipotetica retta (r): si dovrà stabilire il sistema di riferimento, fissare un punto O (origine), un verso di percorrenza (verso destra positivo [+] e verso sinistra negativo [-])e una unità di misura. A questo punto è ancora necessario conoscere il numero relativo che esprime la posizione di P rispetto al punto fissato O e la distanza da esso; allora dato il punto:

P(-3)

il numero relativo -3 definisce l'ascissa del punto P e permette senza nessun equivoco fissare tale punto sulla retta orientata (r); l'ascissa allora non rappresenta altro che la distanza del punto P rispetto all'origine O, ossia, nel nostro caso P(-3) non significa altro che il punto P è distante da O di 3 unità (verso di percorrenza negativo - sinistro -)

Premesso quanto sopra domandiamoci: ma come si può fissare la posizione di un generico punto nel piano mediante una coppia di numeri relativi? Innanzitutto per caratterizzare il piano una sola retta non basta, è necessario considerare pertanto una coppia di rette perpendicolari: una orizzontale e una verticale. La retta orizzontale orientata nel verso positivo si indica con la lettera x e si definisce asse delle ascisse (o delle x), la retta verticale, orientata verso l'alto, si indica con la lettera y e si definisce asse delle ordinate (o delle y); il loro punto d'incontro si indica con O e si definisce origine degli assi. Fissata, anche in questo caso una unità di misura, per posizionare un generico punto nel piano si riportano i numeri relativi sia sull'asse delle ascisse (x) che su quello delle ordinate (y). In questo modo caratteriziamo il piano di un opportuno sistema di riferimento che ci permette di operare.

- due rette perpendicolare tali da individuare la direzione orizzontale e quella verticale (tali rette si indicano rispettivamente con x e y);

- l'origine O nel punto d'incontro degli assi;

- il verso positivo su ciascun asse;

- una unità di misura per ogni asse.

- i due numeri che individuano la posizione di un punto si chiamano coordinate cartesiane del punto e, in particolare, il primo che individua la posizione sull'asse x, è l'ascissa del punto; il secondo, che individua la posizione sull'asse y, è l'ordinata del punto. In generale si scrive:

e si legge "P, di coordinate x1 e y2"

Disegna ora gli assi cartesiani ortogonali sul tuo quaderno, puoi osservare che il piano del foglio risulta diviso in quatto parti uguali che prendono il nome di quadranti posizionati in modo antiorario:

se osservi con attenzione come sono posizionati i segni otterrai il seguente schema:

- i punti con ascissa e ordinata positiva si trovano nel primo quadrante;

- i punti con ascissa negativa e ordinata positiva si trovano nel secondo quadrante;

- i punti con coordinate negative si trovano nel terzo quadrante;
- i punti con ascissa positiva e ordinata negativa si trovano nel quarto quadrante.

P(3;-2) e Q(-4;2)

I numeri (+3 e -2) per il punto P e (-4 e +2) per il punto Q si definiscono coordinate dei punti P e Q e formano una coppia ordinata; ad ogni coppia ordinata di numeri corrisponde, per converso, un punto del piano di cui il primo numero rappresenta l'ascissa (asse delle x) e il secondo l'ordinata (asse delle y):

Posizioniamo a questo punto i punti P e Q sul sistema di riferimento cartesiano ortogonale:

- punto P: sull'asse delle x nel punto +3 (punto immagine della coordinata (ascissa) +3) tracciamo una parallela all'asse delle y; sull'asse delle y nel punto -2 (punto immagine della coordinata (ordinata) -2) tracciamo una parallela all'asse delle x; il punto d'incontro e/o di intersezione di queste due parallele rappresenta proprio la posizione senza nessun equivoco del punto P.

- punto Q: questo punto è indicato dalla coppia di numeri (-4;+2), allora basta rappresentare -4 sull'asse x e +2 sull'asse y, poi tracciando le parallele ai due assi si otterrà il loro punto d'incontro che non è altro la determinazione senza nessun equivoco del punto Q.

- Punti appartenenti al 1° quadrante hanno ascissa e ordinata positiva [esempio punto A(+2;+3)];

- Punti appartenenti al 2° quadrante hanno ascissa negativa e ordinata positiva [esempio punto B(-2;+5)];

- Punti appartenenti al 3° quadrante hanno ascissa e ordinata negativa [esempio punto C(-2;-5)];

- Punti appartenenti al 4° quadrante hanno ascissa positiva e ordinata negativa [esempio punto D(+4;-2)];

- Punti appartenenti all'asse x hanno ordinata uguale a zero [esempio punto E(+3;0) e F(-5;0)];

- Punti appartenenti all'asse y hanno ascissa uguale a zero [esempio punto G(0;+2) e H(0;-3)];

- Il punto O ha entrambe le coordinate uguali a zero [esempio punto O(0;0)];

- Punti aventi uguale ascissa appartengono a una retta parallela all'asse y; l'ascissa rappresenta, in valore assoluto, la distanza della retta dall'asse y [esempio punti A(-3;+5), B(-3;-2), C(-3;-7) appartengono tutti alla retta r];

- Punti aventi uguale ordinata appartengono a una retta parallela all'asse x; l'ordinata rappresenta, in valore assoluto, la distanza della retta dall'asse x [esempio punti D(+2;+3), E(-4;+3), F(+7;+3) appartengono tutti alla retta s];

- Punti aventi ascissa e ordinata uguali entrambe positive, appartengono alla bisettrice del 1° quadrante [esempio punti A(+3;+3), C(+5;+)];

- Punti aventi ascissa e ordinata uguali entrambe negative, appartengono alla bisettrice del 3° quadrante [esempio punti C(-2;-2), D(-4;-4)];

- Punti aventi ascissa e ordinata opposte appartengono alla bisettrice del 2° quadrante de è negativa l'ascissa e positiva l'ordinata, alla bisettrice del 4° quadrante se è positiva l'ascissa e negativa l'ordinata [esempio: i punti E(-2;+2), F(-5;+4)appartengono alla bisettrice del 2° quadrante; i punti G(+3;-3), H(+5;-5)appartengono alla bisettrice del 4° quadrante];

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