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ELEVAZIONE A POTENZA |
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Sempre in analogia all'aritmetica la potenza di un numero relativo è uguale al prodotto di tanti fattori ( tutti uguali)al numero dato, quante sono le unità dell'esponente.Per indicare la potenza allora, si usano le stesse notazioni che hai già appreso in aritmetica: |
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Vediamo ora, limitatamente alle potenze con esponente positivo i vari casi che si possono presentare: |
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BASE CON NUMERO POSITIVO |
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* (+3)2 significa moltiplicare 2 volte il segno (+) e 2 volte il valore assoluto del numero relativo (+3): |
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(+3)2 = (+3)·(+3)= +9 ossia:(+)·(+) = (+) e (3)·(3) = 9 |
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* (+2)3 significa, in questo caso, moltiplicare 3 volte il segno (+) e 3 volte il valore assoluto del numero relativo (+2) |
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(+2)3 =(+2)·(+2)·(+2) = +8 perché(+)·(+)·(+) = (+) e (2)·(2)·(2) = 8 |
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da quanto esplicitato puoi derivare che: la potenza di un numero relativo positivo è sempre positiva sia che l'esponente sia pari o dispari. |
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BASE CON NUMERO NEGATIVO |
(-3)2 =(-3)·(-3) = +9(-3)3 =(-3)·(-3)·(-3) = -27(-3)4 =(-3)·(-3)·(-3)·(-3) = +81(-3)5 =(-3)·(-3)·(-3)·(-3)·(-3) = -243 |
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come puoi facilmente verificare moltiplicando sia i segni ( con la regola dei segni) che i valori assoluti dei numeri pervieni alla seguente regola pratica: quando la base è negativa la potenza è positiva se l'esponente è pari, è negativa se l'esponente è dispari. |
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Da quanto esplicitato si può dedurre in definitiva la seguente regola generale: la potenza che ha per base un numero relativo è un numero relativo che ha per valore assoluto la potenza del valore assoluto della base, sarà positivo in ogni caso se la base è positiva e l'esponente pari o dispari e, se la base è negativa e l'esponente pari; sarà negativo se la base è negativa e l'esponente dispari. |
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Sempre in analogia all'aritmetica anche per le potenze nell'insieme dei numeri relativi valgono tutte le proprietà e/o regole che hai già studiato e cioè: |
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PRODOTTO DI POTENZE DI UGUALE BASE |
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Il prodotto di due potenze che hanno la stessa base è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. |
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QUOZIENTE DI POTENZE DI UGUALE BASE |
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Il quoziente di due potenze che hanno la stessa base è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. |
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POTENZA DI UNA POTENZA |
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La potenza di una potenza è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. |
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PRODOTTO DI POTENZE AVENTI LO STESSO ESPONENTE |
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Il prodotto di due potenze che hanno lo stesso esponente è uguale a una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente. |
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QUOZIENTE DI POTENZE AVENTI LO STESSO ESPONENTE |
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Il quoziente di due potenze che hanno lo stesso esponente base è uguale a una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente. |
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POTENZE CON ESPONENTE NEGATIVO |
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Proponiamoci di calcolare il seguente quoziente: (-4)2 : (-4)5 tenuto conto che trattasi di due potenze che hanno la stessa base avremo: (-4)2-5 = (-4)-3 scriviamo ora lo stesso quoziente sotto forma di frazione e procediamo nel calcolo: |
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confrontando a questo punto i due risultati avremo: |
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pertanto possiamo affermare che "la potenza di un numero relativo (diverso da zero) con esponente intero negativo è uguale all'inverso o reciproco della potenza che ha per base la stessa base e per esponente l'opposto dell'esponente dato" |
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