From: Subject: La radice quadrata Date: Wed, 3 Sep 2008 16:25:21 +0200 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/related; type="text/html"; boundary="----=_NextPart_000_0026_01C90DE1.A95A9B60" X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2900.3350 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_0026_01C90DE1.A95A9B60 Content-Type: text/html; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Content-Location: http://utenti.quipo.it/base5/numeri/radiquad.htm La radice quadrata

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La radice quadrata

Rilassatevi, questo algoritmo =E8 una = ciliegina!

La stima iniziale

L'algoritmo

Un altro esempio

Spiegazione dell'algoritmo

I consigli di Rafael Bombelli

I consigli di Enrico Delfini

Sorpresina!

Digita un numero nella casella e clicca sul=20 pulsante.

Leggi qui il risultato.

Esiste un metodo semplice per calcolare "a mano" la = radice=20 quadrata di un numero?

Ne esistono diversi, ma non si pu=F2 dire che siano=20 semplicissimi.
Il procedimento che viene ancora oggi insegnato nella = scuola=20 media =E8 lo stesso che Rafael Bombelli present=F2 nella sua = Opera su=20 Algebra del 1550.

Questo algoritmo =E8 difficile da ricordare = soprattutto se=20 viene imparato meccanicamente, senza capirne le motivazioni. Gli = strumenti per=20 capirlo si acquisiscono nel primo anno della scuola superiore, con lo = studio del=20 calcolo letterale e dei cosiddetti prodotti notevoli.
Gli antichi = hanno=20 faticato a lungo per costruire le tavole delle radici quadrate e i = moderni hanno=20 inventato le calcolatrici tascabili.
Se il vostro obiettivo =E8 = risolvere dei=20 problemi allora =E8 meglio utilizzare le tavole o la calcolatrice.
Se = il vostro=20 obiettivo =E8 capire l'algoritmo allora questa pagina fa per voi!

I consigli di Delfini e di Bombelli, comunque, sono e = saranno=20 sempre utili per tutti.

La stima=20 iniziale

Dato un qualunque numero intero =E8 facile = stimare=20 immediatamente da quante cifre =E8 composta la parte intera della = sua=20 radice quadrata e qual =E8 la sua prima cifra.
Esempio:
la radice = quadrata=20 (Rad) di 268745 inizia per 5 ed =E8 formata da 3 = cifre.
Rad(268745) =3D 5 _=20 _.
In effetti Rad(268745) =3D 518,406...

Come si fa per eseguire questa=20 stima?
Si divide il numero in gruppi di 2 cifre partendo = da=20 destra.
26.87.45
- I gruppi sono 3 e perci=F2 la radice = quadrata ha 3=20 cifre.
- Il primo gruppo =E8 26. La radice quadrata di 26 = approssimata per=20 difetto a meno di una unit=E0 =E8 5 e perci=F2 la radice quadrata del = numero inizia=20 per 5.

Come si giustificano queste=20 regole?
- La stima del numero di cifre deriva da una=20 caratteristica della nostra notazione in base 10.
Se 0 < a < 10 = allora=20 0 < a2 < 100,
Se 10 < a < 100 allora 100 <=20 a2 < 10 000,
Se 100 < a < 1000 allora 10 000 < = a2 < 1 000 000,
.
.
.
- La stima della prima = cifra=20 deriva da un ragionamento sui quadrati dei numeri da 1 a 9.
In questo = caso:
52 =3D 25 - 62 =3D 36
502 = =3D 2500 -=20 602 =3D 3600
5002 =3D 250000 - 6002 = =3D=20 360000
.
.
.
Dato che:
250000 < 268745 < = 360000
Si ha=20 che:
500 < Rad(268745) < 600
Dunque la prima cifra =E8 = 5.

Esercizi:
Trova = la prima=20 cifra ed il numero di cifre delle seguenti radici quadrate:
Rad(534) = =3D=20 Rad(5.34) =3D 2 _ _
Rad(9876) =3D Rad(98.76) =3D 9 _
Rad(1111111) = =3D=20 Rad(1.11.11.11) =3D 1 _ _ _

L'algoritmo

Estraiamo la radice quadrata di 7548
- Consideriamo = il numero=20 di cui vogliamo calcolare la radice quadrata:
7548
- = Dividiamolo in=20 gruppi di 2 cifre a partire da destra
75.48
- Possiamo = subito dire=20 che la radice =E8:
Rad(75.48) =3D 8? + = resto=20 (? =E8 la seconda cifra della radice di 7548)

  _ _ _ _  

Spazio calcoli

V 7 5. 4 8 =3D 8?
             
             
             

Scriviamo 8 nello spazio del risultato e 64 (=3D8^2) = sotto il=20 75.
Eseguiamo quindi la sottrazione 75 - 64 e scriviamo il risultato = sotto il=20 64.

  _ _ _ _  

Spazio calcoli

V 7 5. 4 8 =3D 8?
  6 4        
  1 1        
             

Abbassiamo accanto al resto il secondo gruppo di cifre, 48.

  _ _ _ _  

Spazio calcoli

V 7 5. 4 8 =3D 8?
  6 4        
  1 1 4 8    
             

Moltiplichiamo per 20 la prima cifra del risultato = (8*20=3D160) e la=20 trascriviamo nello spazio calcoli, aggiungiamo un +, uno spazio, un x, = uno=20 spazio e un =3D.
Chiediamoci: qual =E8 il numero n tale che (16 + n) = * n =E8 il pi=F9=20 vicino possibile per difetto a 1148?
Bisogna procedere per = tentativi!

  _ _ _ _  

Spazio calcoli

V 7 5. 4 8 =3D 8?
  6 4      

(160 + _ )* _ = =3D

  1 1 4 8    
             

Il numero cercato =E8 6. E' la seconda cifra del = risultato!=20 Trascriviamolo vicino all'8!
Trascriviamolo inoltre negli spazi, = eseguiamo i=20 calcoli e trascriviamo il risultato sotto il 1148.

  _ _ _ _  

Spazio calcoli

V 7 5. 4 8 =3D 86
  6 4      

(160 + 6) * 6 =3D=20 996

  1 1 4 8    
    9 9 6    

Calcoliamo la differenza 1148-996 e trascriviamola sotto = il 996.=20 Questa =E8 il resto della radice!

  _ _ _ _  

Spazio calcoli

V 7 5. 4 8 =3D 86
  6 4      

(160 + 6) * 6 =3D=20 996

  1 1 4 8    
    9 9 6    
    1 5 2    

 

In conclusione:
Rad(7548) =3D 86 con il resto di=20 152.
Ovvero 7548 =3D 862 + 152.

Un altro=20 esempio

D=E0i, su, ci ho preso gusto! Proviamo con un numero = pi=F9=20 lungo.
Estraiamo la radice quadrata di 1432542
- Consideriamo il = numero di=20 cui vogliamo calcolare la radice quadrata:
1432542
- = Dividiamolo in=20 gruppi di 2 cifre a partire da destra
1.43.25.42
- Possiamo = subito=20 dire che la radice =E8:
Rad(1.43.25.42) =3D = 1??? +=20 resto

Ecco i primi due passaggi, effettuati come nel caso=20 precedente.

  _ _ _ _ _ _ _    
V 1. 4 3. 2 5. 4 2 =3D 11_
  1               (20 + = 1) * 1 =3D=20 21
  0 4 3            
    2 1            
    2 2 2 5        

Il procedimento continua ripetendo gli stessi passaggi = fino ad=20 esaurire tutte le coppie di cifre che compongono il numero di = partenza.

  _ _ _ _ _ _ _    
V 1. 4 3. 2 5. 4 2 =3D 1196
  1               (20 + = 1) * 1 =3D=20 21
  0 4 3           (220 + = 9) * 9 =3D=20 2061
    2 1           (2380 + = 6) * 6 =3D=20 14316
    2 2 2 5        
    2 0 6 1        
      1 6 4 4 2    
      1 4 3 1 6    
        2 1 2 6    

Note.
Perch=E9 ho scritto 220? Perch=E9 200 =3D = 11*20
Perch=E9 ho=20 scritto 2380? Perch=E9 2380 =3D 119*20

In conclusione:
Rad(1432542) =3D 1196 con il resto = di=20 2126.
Ovvero 1432542 =3D 11962 + = 2126.

E se volessimo calcolare anche i decimali della radice=20 quadrata?
Facile: dobbiamo continuare il procedimento aggiungendo due = zeri=20 alla volta. Ogni coppia di 0 aggiunti permette di trovare un decimale = nella=20 radice.

  _ _ _ _ _ _ _    
V 1. 4 3. 2 5. 4 2 =3D 1196
  1               (20 + = 1) * 1 =3D=20 21
  0 4 3           (220 + = 9) * 9 =3D=20 2061
    2 1           (2380 + = 6) * 6 =3D=20 14316
    2 2 2 5       (23920 = + 8) * 8 =3D=20 191424
    2 0 6 1       (239360 = + 8) * 8 =3D=20 1914944
      1 6 4 4 2    
      1 4 3 1 6    
        2 1 2 6 0 0
        1 9 1 4 2 4
          2 1 1 7 6 0 = 0
          1 9 1 4 9 4 = 4
            2 0 2 6 5=20 6

Spiegazione=20 dell'algoritmo

Per capire il funzionamento dell'algoritmo sono = necessari=20 almeno due prerequisiti.

1) La notazione posizionale in base 10 e la scrittura = dei=20 numeri in forma polinomiale.
Noi scriviamo i numeri utilizzando = il=20 sistema posizionale in base dieci.
Quando scriviamo il numero 2358=20 attribuiamo un significato preciso alla posizione di ciascuna = cifra.=20 Siamo in grado di dire che il numero 2358 =E8 composto da 2 = migliaia, 3=20 centinaia, 5 decine e 8 unit=E0.
Ogni numero intero = pu=F2=20 essere quindi scritto in una forma detta forma polinomiale = perc=E9 si=20 tratta di un vero e proprio polinomio.

2358 =3D 1000*2+ 100*3+ 10*5+ 8

2) La formula per il calcolo del quadrato di un=20 binomio
Consideriamo il caso di un binomio.
(a +=20 b)2 =3D a2 +=20 b2 + 2ab

Applicando questa formula per calcolare il quadrato di un numero = intero di 2=20 cifre scritto in forma polinomiale, si ottiene, ad esempio:

342 =3D (10*3 + = 4)2 =3D=20 100*32 + 2*3*4*10 + 42 = =3D=20 100*32 + 4*(20*3 + 4)

In generale:

(10*a + b)2 =3D = 100*a2 +=20 b*(20*a + b)

Detto questo, provo a spiegare l'algoritmo partendo da un = esempio.

Calcoliamo la Radq(7589) =3D 87,11

  _ _ _ _    
V 7 5. 8 9 =3D 87
  6 4      

167*7 =3D = 1169

  1 1 8 9    
  1 1 6 9    
      2 0    

Chiamiamo:
N =3D 7589 (il radicando)
G =3D 75 (il = primo gruppo=20 di cifre del radicando)
g =3D 89 (il secondo gruppo di cifre del=20 radicando)
n =3D 87 (la parte intera della radice)
a =3D 8 (la = prima cifra=20 della radice, che si trova subito)
b =3D 7 (la seconda cifra della = radice, che=20 si trova in seguito)

Possiamo scrivere:
N =3D 100*G + g
(75.89=20 =3D 100*75 + 89)

n =3D 10*a + b
(87 =3D 10*8 + = 7)

N =3D n2 + resto

Sostituendo:
(1) (100*G + g) =3D (10*a +=20 b)2 + resto

E, in base a questa uguaglianza:
(10*a+b)2 = =3D=20 100*a2 + b*(20*a+b)

Si ha che:
(2) (100*G + g) =3D = 100*a2=20 + b*(20*a + b) + resto

Ricavando il resto = dalla (1) e=20 dalla (2) e uguagliando, si ha che:
(3) (100*G + g) - (10*a +=20 b)2 =3D (100*[G - a2] = + g) -=20 b*(20*a + b)

Ora, quando noi, nel primo passaggio, eseguiamo la=20 sottrazione:
75 - 64 =3D 11
e = trasportiamo=20 89 accanto a 11,
otteniamo 1189
che cosa=20 abbiamo fatto?
11 =3D G - a2
89 =3D = g
1189 =3D (100*[G - a2] + g)

Quando invece cerchiamo un numero = opportuno (7) e=20 calcoliamo:
167*7 =3D = 1169
in modo che il risultato (1169) minimizzi il = resto,
che=20 cosa abbiamo fatto?
167*7 =3D 7*(160 = +=20 7) =3D b*(20*a + b)

Guarda caso!
1189 - 1169 =3D (100*[G -=20 a2] + g) - b*(20*a + b)
che =E8 il nuovo = resto!

Ma questo resto, per l'uguaglianza (3) =E8 proprio = uguale=20 a:
(100*G + g) - (10*a + b)2

Cio=E8, risalendo alle definizioni originali, =E8 uguale = a:
N =3D=20 n2

Concludendo!
Ripetendo questo procedimento, ad ogni = passaggio=20 otterr=F2 una nuova cifra della radice e, avendo minimizzato il = resto, sar=F2=20 sicuro che quella =E8 la cifra giusta!

Se il numero avesse un'altra coppia di cifre, dovrei = trascriverla=20 accanto all'ultimo resto (20) e il procedimento andrebbe avanti=20 sostituendo:
G con 100*G+g
a con10*a+b
e cos=EC via.

I consigli di = Rafael=20 Bombelli

I numeri NON-QUADRATI: se li conosci = li=20 eviti

A conoscere li numeri = quadrati per=20 pratica.

"Molte volte accade = nell'operare di=20 havere a trovare il lato di un numero (=3D la radice quadrata), che non = havendo=20 lato, l'operante non se ne ha a servire; e assai volte accade ne i = numeri=20 grandi, poi che si =E8 affaticato assai invano, si trova tal numero non = haver=20 lato, per non essere quadrato, e hassi gettato il tempo e l'opera; = per=F2, per=20 fuggire questo inconveniente, ho pensato di dar certe regole che assai=20 facilitaranno la strada a conoscere quali siano li numeri=20 quadrati."
Rafael Bombelli,=20 Opera su Algebra, 1550.

Ecco alcune delle regole date da Bombelli.

I consigli di = Enrico=20 Delfini

Come esponente della M.A. (matematica approssimativa), = ti propongo=20 un sistema assolutamente impreciso, ma, con un poco di pratica, molto = rapido per=20 avere un'idea del valore approssimato.
Ci=F2 =E8 utile, sia per = "avere un'idea"=20 del risultato, sia per controllare, una volta ottenuto quello "preciso" = con i=20 calcoli, a mano o a macchina, se il risultato =E8 "compatibile".
Il=20 procedimento ricalca, in modo grossolano, quello "ufficiale", ma si fa a = mente,=20 nel tempo che si impiega a scrivere il numero o a batterlo sulla = tastiera.

Si contano le cifre del numero e da questo si scopre di = quante=20 cifre =E8 composta la radice:
fino a due cifre-la radice =E8 di una = cifra;
3 o=20 4 cifre-la radice =E8 di 2 cifre;
4 o 5 cifre- la radice =E8 di 3 = cifre=20 eccetera.

Ora si guarda solo il primo gruppetto( di una o due = cifre) che=20 rimane a sinistra, una volta raggruppate tutte le cifre a due a due, = iniziando=20 da destra.

Ora bisogna individuare tra quali "quadrati perfetti" si = situa=20 questo numerino; per es. se il numero =E8 345.823, lo raggruppo a due a = due:=20 34.58.23; il primo gruppetto =E8 34, che sta fra 25 (^2) e 36 (6^2); = posso ora=20 dire che la radice cercata =E8 un numero di 3 cifre che comincia per 5, = cio=E8=20 compreso fra 500 e 599; ora per approssimazione, vedendo che 34 =E8 = molto pi=F9=20 vicino a 36 che a 25, posso prevedere che la radice sar=E0 pi=F9 vicina = a 599 che a=20 500; sparo un 580; il vero risultato =E8 588,xxx, ma col mio sistema lo = posso dire=20 prima di aver finito di scrivere; in effetti, una volta contate le = cifre, dopo=20 aver scritto le prime due, si pu=F2 gi=E0 sparare un valore, = approssimato s=EC, ma mai=20 del tutto sbagliato.

Sito Web realizzato da Gianfranco=20 Bo

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